Question

若关于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是    ．

Answer

分类讨论：（1）当x≥3，方程变为：x2+（a-8）x+15-5a=0，△＞0，即△=（a-8）2-4（15-5a）=（a+2）2＞0，∴a+2≠0，即a≠-2，并且求出方程的解都要大于或等于3，再得到a≤0，此时实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2，（2）当x＜3，方程变为：x2-（a+4）x+a+3=0，用同样的方法求出a的取值范围；最后综合得到实数a的取值范围．
【解析】
当x≥3，方程变为：x2+（a-8）x+15-5a=0，
∵方程有两个不同的实数根，
∴△＞0，即△=（a-8）2-4（15-5a）=（a+2）2＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此时方程的根为x==，
则x1=5，x2=3-a．而x≥3，所以有3-a≥3，即a≤0，
此时实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2．
当x＜3，方程变为：x2-（a+4）x+a+3=0，
∵方程有两个不同的实数根，
∴△＞0，即△=（a+4）2-4（a+3）=（a+2）2＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此时方程的根为x==，
则x1=1，x2=3+a．而x＜3，所以有3+a＜3，即a＜0．
实数a的取值范围是a＜0且a≠-2．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2．
故答案为a≤0，且a≠-2．