Question

如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，ar，ar²，ar³（a＞0，r＞0），试确定点P的位置，并说明理由．

Answer

由平行四边形的性质，再根据面积相等建立等效平衡，因为r＞0，所以应分三种情况进行讨论．
【解析】
由题意可知S△APD+S△BPC=S△APB+S△DPC=SABCD．
因为r＞0，下面分三种情况讨论．
（1）若a+ar=ar2+ar3，得r=1，
此时，S△APD=S△BPC=S△APB=S△DPC．则点P必为AC与BD之交点；
（2）若a+ar2=ar+ar3，也可得r=1，
此时，S△APD+S△BPC=S△APB+S△DPC．则点P必为AC与BD之交点；
（3）若a+ar3=ar+ar2，由此可得：a（1+r）（1-r）2=0，
因为a＞0，r＞0，所以r=1，结论仍旧同（1）．
综上所述，点P必为对角线AC与BD的交点．