Question

如图，⊙O_l和⊙O₂外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△O_lAB；④PB•PC=O_lA•O₂A．上述结论，正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

对①由切线性质PB=PA，∠PBA=∠PAB，所以PA≠AB，
对③由PA是内公切线，BC是外公切线所以∠PBO1=∠PAO1=90°，则∠O1+∠APB=180°，
又有∠O1≠90°所以∠O1≠∠APB那么△PAB∽△OlAB不成立．
要证PB•PC=OlA•O2A，由PA⊥OlO2则PA2=PB•PC，由∠OlPO2=90°，则PA2=OlA•O2A，所以④成立．
【解析】
①∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，
∴∠PBO1=∠PAO1=90°，
∵O1A=O1B，
∴∠O1AB=∠O1BA，
∴90°-∠O1AB=90°-∠O1BA，
即∠PBA=∠PAB．
②

连接O1P，O2P．
∵PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点，
∴PA=PB=PC，PA⊥OlO2．
∴PA2=PB•PC，
∵O1A=O1B，PO1是公共边，
∴△PBO1≌△PAO1，
∴∠PO1B=∠PO1A，
同理∠PO2C=∠PO2A，
∵∠AO1B+∠CO2A=180°．
∴∠PO1A+∠PO2A=90°
∴∠OlPO2=90°，
∴PA2=OlA•O2A
∴PB•PC=OlA•O2A，