Question

如图，⊙O_l和⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O_l于点D，交⊙O₂于点E，DA与⊙O₂相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
（2）求证：PD•PA=PC²+AC•DC；
（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．

Answer

（1）过P作两圆的公切线PT，即可得出答案；
（2）由AC•DC=PC•CF，PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．即要证PC•PF=PD•PA，由△PDC∽△PFA可得；
（3）由△PCA∽△PEC，得=，即PC2=PA•PE，得PC=3．
【解析】
（1）过P作两圆的公切线PT，
根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；

（2）∵AC•DC=PC•CF，
∴PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC•PF=PD•PA，
∴PD•PA=PC2+AC•DC；

（3）∵△PCA∽△PEC，
∴=，
即PC2=PA•PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3．