Question

已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²=．

Answer

（1）作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E，分别运用垂径定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC；
（2）利用梯形中位线定理，即可O1D+O2E=2AM，d1+d2=O1O2；
（3）根据相似三角形的性质，表示出d1=，d2=；再结合（2）的结论，进行证明．
证明：（1）分别作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E．
则AB=2AD，AC=2AE．
∵O1D∥AM∥O2E，
∵M为O1O2的中点，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O1A切⊙O2于点A，
∴O1A⊥O2A，
又∵M为O1O2的中点，O1O2=2AM
在梯形O1O2ED中，
∵AM为梯形的中位线，O1D+O2E=2AM，
∴O1D+O2E=O1O2，
即d1+d2=O1O2．

（3）∵O1A⊥O2A，
∴∠AO1D=∠O2AE，
∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E．
∴==，
即==．
∴AD•AE=d1•d2=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O1O2=d1+d2，
∴d1=，d2=，
∴R2+r2=O1O22=（d1+d2）2=（+）2=．