Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=，求EF的长；
（3）求以BP、EF为根的一元二次方程．

Answer

（1）本题需作辅助线，再根据圆内接四边形对角互补证明∠PBC是直角，从而可以确定CB是⊙P的切线；
（2）根据△FCE∽△PCB，则，由于CB是⊙P的切线，所以根据CB2=CD•（CD+DE），可以求得DE的长度，进而求得CE的长度；再求得BP的长度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，则可求得BP的长度；
（3）由根与系数的关系可知：EF+BP=+1，EF•BP=则可确定一元二次方程．
【解析】
（1）∵点P在⊙O上．连接PB，PA，
∵⊙O的弦AC切⊙P于点A，
∴∠CAP=90°．
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切线．

（2）∵CB是⊙P的切线，
∴CB2=CD•（CD+DE）．
∵CB=2，CD=2，
∴=2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=ED=1．
∵CP=3，CB=2，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴．
∵CB=2，CE=4，BP=1，
∴．
∴EF=．

（3）∵EF+BP=+1，EF•BP=，
∴所求以EF，BP为根的一元二次方程是：x2-（+1）x+=0．