Question

将正方形ABCD分割为n²个相等的小方格，把相对的顶点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其他各点任意染成红蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

Answer

若恰有三个顶点同色（三红一蓝或一红三蓝），则Ai=1或3为奇数，否则（4红，二红二蓝，4蓝）Ai为偶数．
在A1+A2+A3+…+An2中，有如下事实：
（1）原正方形内部的交点属于4个小正方形，各加了4次；
（2）原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四个顶点各加了1次（含2个0，2个1）．
∴A1+A2+A3+…+An2
=4（内部交点相应的数字之和）+2（边上非顶点的交点相应的数字之和）+2，此和必为偶数．
证明：用数代表颜色，将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号记为1，2，3，n2，又记第i（i=1，2，3，n2）个小方格四个顶点数字之和为A．
若恰有三个顶点同色（三红一蓝或一红三蓝），则Ai=1或3为奇数，否则（4红，二红二蓝，4蓝）Ai为偶数．
在A1+A2+A3+…+An2中，有如下事实：
（1）原正方形内部的交点属于4个小正方形，各加了4次；
（2）原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四个顶点各加了1次（含2个0，2个1）．
∴A1+A2+A3+…+An2
=4（内部交点相应的数字之和）+2（边上非顶点的交点相应的数字之和）+2，此和必为偶数．
于是，在A1，A2，A3，An2中必定是偶数个奇数，
所以：恰有三个顶点同色的小方格的数目必有是偶数．