Question

已知1996个自然数a₁，a₂，…a₁₉₉₆两数的和能被它们的差整除，现设n=a₁•a₂•a₃•…•a₁₉₉₆．
求证：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₆这1997个数仍满足上述条件．

Answer

将1996个自然数由小到大排列，不妨设a1＜a2＜a3…＜a1996，将问题分三个方面证明：①证明a1，a2…a1996任取3个，一定有一个是偶数；②从a1，…a1996任取两个ai，aj，其中ai＜aj，下面证明aj-ai|n；③从n，n+a1，n+a2，…n+a1996任取两个n+ai，n+aj，其中ai＜aj
他们两个之差=aj-ai，之和=2n+ai+aj．
证明：由于自然数是有序的，因此我可以把他们排列从小到大，不妨设a1＜a2＜a3…＜a1996，
①证明a1，a2…a1996任取3个，一定有一个是偶数．
假设任取三个ai，aj，ak，它们全部都是奇数，那么他们可以表示成
ai=a，aj=a+2b，ak=a+2c，
其中a，b，c为正整数，且a为奇数，b＜c，我这样做因为他们肯定相隔偶数．
由已知
aj-ai|ai+aj，
ak-ai|ai+ak，
ak-aj|aj+ak，
得到
b|a+b，即b|a，
c|a+c，即c|a，
故c-b|a+b+c，
因此b，c都是奇数，那么a+b+c是3个奇数相加，因此也是奇数，
然而c-b是两个奇数相减，因此是偶数，那么不可能一个偶数c-b能除尽奇数a+b+c，因此得到矛盾，所以不可能都是奇数．
②从a1，…a1996任取两个ai，aj，其中ai＜aj，下面证明aj-ai|n．
由aj-ai|ai+aj，可得aj-ai|（ai+aj）2=ai2+2aiaj+aj2=（aj-ai）2+4aiaj
由于aj-ai|（aj-ai）2所以aj-ai|4aiaj
在①里面，可见任何3个数中，必有一个是奇数，因此a1，a2，…a1996至少有2个偶数不等于ai，aj，
因此，显然4aiaj|n，所以aj-ai|n
③从n，n+a1，n+a2，…n+a1996任取两个n+ai，n+aj，其中ai＜aj
他们两个之差=aj-ai
之和=2n+ai+aj
因为
aj-ai|n（②中证明的） 和 aj-ai|ai+aj（已知条件）
所以aj-ai|2n+ai+aj，
这样证明了任取两个数属于{n，n+a1，n+a2…n+a1996}，他们之和能被他们之差整除．