Question

如图，矩形ABCD中，AD＜AB，P、Q分别为AD、BC的中点．N为DC上的一点，△AND沿直线AN对折，点D恰好与PQ上的M点重合．若AD、AB分别为方程x²-6x+8=0的两根．
（1）求△AMN的外接圆的直径；
（2）四边形ADNM有内切圆吗？有则求出内切圆的面积，没有请说明理由．

Answer

（1）首先解方程求出AD、AB，利用折叠前后图形不变得出AM=AD=2，以及得出∠NAM=30°，进而求出AN，即是Rt△AMN的外接圆直径；
（2）首先得出I所在位置，得出四边形IEDF为正方形，再利用三角形相似求出内切圆的半径．
【解析】
（1）x2-6x+8=0得x1=2，x2=4，

又AD、AB为方程的两根，AD＜AB，
∴AD=2，AB=4，
∴AM=AD=2，AP=1，
在Rt△AMP中，∠PAM=60°，
∴∠PMA=30°，
∴∠NAM=30°，
在Rt△AMN中，AN==，即Rt△AMN的外接圆直径为．

（2）假设四边形ADNM有内切圆，由AN平分∠DAM知内切圆圆心必在AN上，
设为I，作IE⊥AD于E，IF⊥DC于F，则四边形IEDF为正方形，IE=IF=x，
∵Rt△AEI∽Rt△IFN，
∴，
∴，
∴x=-1，
依题知点I到MN、AM的距离也为x，
∴点I为四边形的内切圆心，
其面积S=π（-1）2=（4-2）π．