Question

已知抛物线y=x²+4ax+3a²（a＞0）
（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．

Answer

（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方，根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．
（2）利用垂径定理，勾股定理可以求出
（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．
（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上，且a＞0
又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0
∴抛物线必与x轴有两个交点
∴其顶点在x轴下方

（2）【解析】
令x2+4ax+3a2=0
∴x1=-a，x2=-3a2
∴A（-a，0），B（-3a，0）
又圆M与y轴相切，
∴MA=2a
如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2
∴a=±1（负值舍去）
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）【解析】
P（-2，-1），A（-1，0），C（0，3）
设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b
0=-k+b
∴k=1
b=1
∴y=x+1，令x=0得y=1
∴D（0，1）
∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=1