Question

若k为正整数，且一元二次方程（k-1）x²-px+k=0的两根为正整数，求k^kp（p^p+k^k）+（p+k）的值．

Answer

设原方程的两个根分别为x1，x2，再有根与系数的关系可得到关于k的不等式，根据方程的两根及k为整数即可求出方程的两根及k的值，再代入所求代数式即可求解．
【解析】
设原方程的两个根分别为x1，x2，
∵原方程有两个正整数根，
根据韦达定理得x1•x2=＞0，①
且它的值为整数变形得1+＞0，
＞-1，
又∵为整数，
∴=1
∴k=2，代入①得x1•x2=2，
∴x1=1，x2=2，
把k=2，x=1（或者2也可以）代入原方程得p=3，
∴kkp（pp+kk）+（p+k）=22×3（33+22）+（3+2）=1989．
故答案为：1989．