Question

“神算子”的机器人具有图形处理能力，它参加了一次游戏活动，该活动在一Rt△ABC的场地上进行，∠C=90°，∠B=30°，P是Rt△ABC内一点，点P到AB、BC、CA的距离分别为20m，10m，20m．游戏规则是：机器人从点P出发，先到达边AB，再到边C或CA中的一条，最后回到出发点P停止，游戏结束，所用时间最短者胜．若“神算子”的速度为10m/s，求其最好成绩．

Answer

过点P分别作关于AB、AC的对称点P1、P2，连接PP1、PP2分别交AB、AC于点D、E，连接P1P2分别交AB、AC于点M、N，由四边形内角和定理可求出∠DPE的度数，由余弦定理可求出P1P2的长，由神算子的速度可求出神算子先到AB再到AC最后回到P点时所用的时间；同理可求出“神算子”先到达AB，再到达BC，最后回到出发点P，所花时间，再把两时间进行比较取较小的一个数即可．
【解析】
过点P分别作关于AB、AC的对称点P1、P2，连接PP1、PP2分别交AB、AC于点D、E，连接P1P2分别交AB、AC于点M、N，则PP1⊥AB，PD=P1D，PM=P1M，
故∠PDA=90°，PP1=2PD=40m，
同理，∠PEA=90°，PP2=40m，PN=P2N，
易知∠A=60°，
因此∠DPE=360°-∠PDA-∠A-∠PEA=120°
即∠P1PP2=120°而PP1=PP2=40
所以P1P2=40m
则△PMN的周长为：PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=40m
故“神算子”所花时间为40÷10=4（s）
若“神算子”先到达AB，再到达BC，最后回到出发点P，同理可得，所花时间为2s．
4=2＜2
所以“神算子”最短时间为4s．
故答案为：4s．