Question

若a，b，c为实数，且a+b+c=0，abc=2，那么|a|+|b|+|c|的最小值可达到    ．

Answer

先根据已知条件确定a、b、c的符号，利用完全平方式求出（|a|+|b|+|c|）2=4a2，再构造出以b、c为根的一元二次方程，由根的判别式即可求出a的取值范围，再由（|a|+|b|+|c|）2=4a2即可求出答案．
【解析】
由题意得a=-（b+c），
∵abc=2＞0，
∴假设a＞0，则b＜0，c＜0，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc+4ab+4ac，
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|+2|a||c|+2|b||c|+4ab+4ac，
=（|a|+|b|+|c|）2+4ab+4ac，
∴（|a|+|b|+|c|）2=0-4ab-4ab=-4a（b+c）=4a2，
∵b+c=-a，bc=，所以可以将b、c看成是x2+ax+=0这个方程的两个根，
∵△≥0，
∴a2-≥0，
∴a3-8≥0，即a3≥8，a≥2，
∴（|a|+|b|+|c|）2≥16，
∴|a|+|b|+|c|≥4，
∴|a|+|b|+|c|的最小值为4．
故答案为：4．