Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．

Answer

过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，构成直角三角形可证出Rt△ABE∽Rt△CED，然后证出其面积；或作FH⊥CE于H，设FH=h，Rt△EHF∽Rt△BAE，然后求出其面积．
解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．（2分）
因为∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，（4分）
所以．（（6分））
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，
所以．（8分）
所以．（10分）

解法2：如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．（2分）因为∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．（4分）
因为，所以．
又因为HC=FH，所以，（8分）
所以．（10分）