由x2+y2-x能被2xy整除得出，关于y的一个二次方程，并求出两根，得出两根的关系，△=4[k2x2-（x2-x）]=4x[（k2-1）x+1]应为完全平方数，由于x和（k2-1）x+1互质，进一步得出x为完全平方数．
证明：∵x2+y2-x能被2xy整除，则有x2+y2-x=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：y2-2kxy+（x2-x）=0（1）
由题设，此方程有一根y1为整数，由韦达定理，另一根为y2满足y2=2kx-y1
故y2也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
△=4[k2x2-（x2-x）]=4x[（k2-1）x+1]应为完全平方数．
由于x和（k2-1）x+1互质，
故必为完全平方数．
