Question

半径分别为r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相离，并且一条外公切线长度为t₁，一条内公切线的长度为t₂，则t₁²-t₂²=    r₁r₂；如果一条外公切线与连心线所夹锐角为α，则sinα=    ；如果一条内公切线与连心线所夹锐角为β，则sinβ=    ．

Answer

连接O1A，O1C，O2B，O2D作O2E⊥O1A于E，延长O1E到F使CF=O2D=r2，连接O2F，根据直角三角形中三边长度即可求得锐角的三角函数值，即可解题．
【解析】
如图，连接O1A，O1C，O2B，O2D，
作O2E⊥O1A于E，延长O1E到F使CF=O2D=r2，连接O2F，
则∠EO2O1=α，∠FO2O1=β
∴sinα=，sinβ=，
在Rt△EO1O2中，t12=O1O22-（r1-r2）2①
在Rt△O1FO2中，t22=O1O22-（r1+r2）2②
①-②得t12-t22=4r1r2，
故答案为4、、．