Question

在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为______．

Answer

分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆．因而求外接圆的半径即可，为此，作过B点作△ABC的外接圆直径BE，连接AE．在△BAE与△ADC中，根据同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可证得△BAE∽△ADC．根据相似三角形的性质，求得直径BE的长，那么半径R即可知；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半．
【解析】
分两种情况：
①如果△ABC是锐角三角形，连接BO，并延长BO交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，
则∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴，
又AB=15，AC=13，AD=12，
∴==，
∵BE是⊙O的直径，
∴BO=BE=；

②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的圆的半径为最长边AB的一半，故R==7.5．
故答案为：或7.5．