Question

如图，延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n＞0），则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为______（用含n的代数式表示）．

Answer

连接BH，BD，DF，根据等高的两个三角形面积比等于底边之比，设S△BEH=a，则S△ABH=na，S△ABD=an2，同理设S△DFG=b，则S△CDF=bn，S△BCD=bn2，从而得（S△AEH+S△CFG）：S四边形ABCD=（a+an+b+bn）：（an2+bn2）=（n+1）：n2，同理可证（S△HGD+S△BEF）：S四边形ABCD=（n+1）：n2，再求（S△AEH+S△CFG+S△HGD+S△BEF）：S四边形ABCD=（2n+2）：n2，根据S四边形EFGH=S△AEH+S△CFG+S△HGD+S△BEF+S四边形ABCD求解．
【解析】
连接BH，BD，DF，
设S△BEH=a，则S△ABH=na，S△ABD=an2，
同理设S△DFG=b，则S△CDF=bn，S△BCD=bn2，
∴（S△AEH+S△CFG）：S四边形ABCD=（a+an+b+bn）：（an2+bn2）=（n+1）：n2，
同理可证（S△HGD+S△BEF）：S四边形ABCD=（n+1）：n2，
∴（S△AEH+S△CFG+S△HGD+S△BEF）：S四边形ABCD=（2n+2）：n2，
∵S四边形EFGH=S△AEH+S△CFG+S△HGD+S△BEF+S四边形ABCD，
∴S四边形EFGH：S四边形ABCD=（n2+2n+2）：n2．
故答案为：（n2+2n+2）：n2．