Question

已知二次方程x²-3x+1=0的两根为α、β，求①|α-β|；②α³+β³；③α³-β³；④

Answer

根据根与系数的关系，写出α+β和αβ的值，再把要求的代数式转化成含有α+β和αβ的形式，求出代数式的值．
【解析】
∵α，β是方程的两个根，
∴α+β=3，αβ=1．
①|α-β|====．
②α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）[（α+β）2-3αβ]=1×（9-3）=6．
③α3-β3=（α-β）（α2+αβ+β2）=（α-β）[（α+β）2-αβ]
由①知α-β=±，
∴原式=±（9-1）=±8．
④+=+
∵α+β=3＞0，αβ=1＞0
∴α＞0，β＞0，
∴原式===3．