Question

已知二次方程x²+x-1=0的两根为α、β，求2α⁵+β³的值．

Answer

首先利用二次方程x2+x-1=0的两根为α、β对代数式进行化简，然后再根据根与系数的关系进行求解得到结果．
【解析】
∵二次方程x2+x-1=0的两根为α、β，
∴α2+α-1=0，β2+β-1=0，
则α5=α•α2•α2=α•（1-α）（1-α）=（2α-1）（1-α）=5α-3
β3=β•β2=β（1-β）=β-β2=β-（1-β）=2β-1
∴2α5+β3=2（5α-3）+2β-1=10α+2β-7，
根据根与系数的关系有α+β=-1，
则β=-1-α，
所以原式=10α+2（-1-α）-7=8α-9
解方程可知：α=，
所以原式=-13±4．
即2α5+β3的值为-13±4．