Question

已知二次方程x²-px+q=0的两根为α、β，求
①以α³、β³为根的一元二次方程；
②若以α³、β³为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，求所有这样的一元二次方程．

Answer

①欲求以α3、β3为根的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可知所求方程是x2-（α3+β3）x+α3β3=0．先由已知条件得出α+β=p，αβ=q，再运用立方和公式、积的乘方的运算性质用含p、q的代数式分别表示α3+β3，α3β3即可；
②由于①中所求方程即为x2-px+q=0，则得方程组，解此方程组，即可求出p、q的值，再舍去无实根的方程，从而求出问题的解．
【解析】
①∵方程x2-px+q=0的两根为α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）3-3αβ（α+β）=p3-3pq，
α3β3=（αβ）3=q3，
∴以α3、β3为根的一元二次方程为x2-（p3-3pq）x+q3=0；

②由题意，得，
由q3=q，得q=0，q=±1，
当q=0时，p3=p，p=0，±1；
当q=1时，p3=4p，p=0，±2；
当q=-1时，p3=-2p，p=0．
∵当p=0，q=1时，方程x2+1=0无实根，
∴满足条件的方程有x2=0；x2-x=0；x2+x=0；x2-2x+1=0；x2+2x+1=0；x2-1=0．