Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上；
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．

Answer

（1）连接AC，由Rt△AOC∽Rt△COB⇒，求得OB的长，即可得出确定B点坐标，进而可根据B、C坐标用待定系数法求得BC直线的解析式．
（2）根据圆心的坐标及圆的半径不难得出E、F的坐标．根据抛物线和圆的对称性可知：抛物线顶点和圆心的横坐标必相等，据此可根据直线BC的解析式求出抛物线的顶点坐标．然后根据E、F及顶点坐标求出抛物线的解析式．
（3）在（1）中已经求得C点坐标，将C点坐标代入抛物线的解析式中进行判断即可．
（4）在（1）中已经求得∠OAC=60°，∠OCA=30°，如果连接CF，那么∠CFE=∠OAC=30°，由于E、F同在抛物线上，因此连接CE后，三角形CEF就与三角形OAC相似．那么C、E、F就是符合条件的点．而根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点和E、F组成的直角三角形也应该符合条件．
【解析】
（1）方法一：
连接AC，则AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=．
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴．
∴OB=6．
∴点C坐标为（0，2），点B坐标为（-6，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
可求得直线BC的解析式为y=x+2．
方法二：
连接AC，则AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴∠ACO=30°，∠CAO=60°．
∴∠CBA=30°．
∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．
以下同证法一．

（2）由题意得，⊙A与x轴的交点分别为E（-2，0）、F（6，0），抛物线的对称轴过点A为直线x=2．
∵抛物线的顶点在直线BC上，
∴抛物线顶点坐标为（2，）．
设抛物线解析式为y=a（x-2）2+，
∵抛物线过点E（-2，0），
∴0=a（-2-2）2+，
解得a=-．
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+，
即y=-x2+x+2．

（3）点C在抛物线上．因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），如图．

（4）存在，这三点分别是E、C、F与E、C′、F，C′的坐标为（4，）．
即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如图．