Question

已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂．s₁=x₁²⁰⁰⁵+x₂²⁰⁰⁵，s₂=x₁²⁰⁰⁴+x₂²⁰⁰⁴，s₃=x₁²⁰⁰³+x₂²⁰⁰³．求as₁+bs₂+cs₃的值．

Answer

已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，可将根代入方程得ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，再将所得代入下式得as1+bs2+cs3=a（x12005+x22005）+b（x12004+x22004）+c（x12003+x22003）=（ax12005+bx12004+cx12003）+（ax22005+bx22004+cx22003）=x12003（ax12+bx1+c）+x22003（ax22+bx2+c）=x12003×0+x22003×0=0．
【解析】
∵x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．
∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
又∵s1=x12005+x22005，s2=x12004+x22004，s3=x12003+x22003
∴as1+bs2+cs3=a（x12005+x22005）+b（x12004+x22004）+c（x12003+x22003）
=ax12005+ax22005+bx12004+bx22004+cx12003+cx22003
=（ax12005+bx12004+cx12003）+（ax22005+bx22004+cx22003）
=x12003（ax12+bx1+c）+x22003（ax22+bx2+c）
=x12003×0+x22003×0
=0