已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1．（1）当此函数的图象与x...

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，试求它们的长的和．

（1）利用根的判别式与二次函数的定义解答即可；（2）利用两点之间的距离公式以及根与系数的关系解答即可；（3）顺次代入（2）中的通项，利用数的规律解决问题．【解析】（1）依题意a的取值必须满足，解得a为不等于0和-1的任意实数；（2）设A、B两点坐标为A（x1，0）、B（x2，0），则x1，x2是方程a（a+1）x2-（2a+1）x+1=0的两个不等实根，则AB的长为① ∵，代入①式得； ∵a为正整数， ∴；（3）当a依次取1，2，…，2010时，所截得的线段长分别为，，… ，， ∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|， =+…+， =， =1-， =．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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