Question

已知，在▱ABCD中，点M、N分别是AB、CD的中点，AN、CM交DB于P、Q两点，下列结论：①PD=PQ=QB； ②AP=CQ；③CQ=2MQ； ④S_ADP=S_▱ABCD．其中正确的结论的个数是（ ）

A．4个
B．、3个
C．2个
D．1个

Answer

①由于四边形ABCD是▱，那么有AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证△DPN∽△BPA，从而有DP：BP=1：2（1），同理有BQ：DQ=1：2（2），（1）、（2）联合可求DP=PQ=QB；②根据SAS易证△ADP≌△CBQ，从而有AP=CQ；③由①中知△BQM∽△DQC，利用相似三角形的性质可求CG=2MQ；④由①知P、Q是BD的三等分点，利用同底等高的三角形面积相等可知S△ADP=S△ABD，而S△ABD=S▱ABCD，易证S△ADP=S▱ABCD．
【解析】
①∵四边形ABCD是▱，
∴AB∥CD，
∴△DPN∽△BPA，
∴DN：AB=DP：BP，
即DP：BP=1：2（1），
同理有BQ：DQ=1：2（2），
（1）、（2）联合和得：DP=PQ=QB，
故①正确；
②在△ADP和△CBQ中，
∵AD=BC，∠ADP=∠CBQ，DP=BQ，
∴△ADP≌△CBQ，
∴AP=CQ，
故②正确；
③由①中知△BQM∽△DQC，
∴MQ：CQ=1：2，
即CG=2MQ，
故③正确；
④由①知P、Q是BD的三等分点，
∴S△ADP=S△ABD，
又∵S△ABD=S▱ABCD，
∴S△ADP=S▱ABCD，
故④错误．
故选B．