Question

如图，巳知A为∠POQ的边OQ上一点，OA=2，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=60°．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，若按逆时针方向旋转θ°（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上向右平移的距离分别为a、b，请问θ等于几度时b=2a？

Answer

△OAB为等边三角形，则OA=OB=AB=2，则OM=a，BN=b，假定b=2a，则BM=2-a，ON=2+2a，易证△AMB∽△NAO，利用相似比可求出a=1，则在△BAN中，BA=BN=2，得到∠BNA=θ，利用三角形的外角性质即可得到θ的度数．
【解析】
如图，△OAB为等边三角形，则OA=OB=AB=2，
根据题意得，OM=a，BN=b，
若b=2a，则BM=2-a，ON=2+2a，
∵∠AOB=∠AOB=60°，
∠AMB=∠OAN=60°+θ，
∴△AMB∽△NAO，
∴=，即=，
解得a=1，
∴BN=2，
在△BAN中，BA=BN=2，
∴∠BNA=θ，
∴∠AOB=2θ=60°，
∴θ=30°，
即θ等于30度时b=2a．