Question

由于工程设计的需要，希望确定一条抛物线y=ax²+bx+4，它必须满足下列要求：这条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=∠ABC，AB=5．试问：是否存在满足要求的抛物线？若存在，请求出它的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

首先根据抛物线y=ax2+bx+4与与y轴交于C点，确定C点的坐标值，并设A、B点的坐标分别为（x1，0）和（x2，0）．
根据坐标值求得线段AB、AC的长度，再利用等腰三角形的性质，得到AC=AB，从而解得x1、x2的值，A、B点的坐标值即可确定．再就A、B点坐标的取值讨论具体的解析式．
【解析】
∵这条抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点
∴C点的坐标是（0，4），设A、B点的坐标分别为（x1，0）和（x2，0）
∴，
∵∠ACB=∠ABC
∴AC=AB，即=5
∴x1=±3
①当x1=3，x2=8时，此时抛物线解析式为y=
②当x1=3，x2=-2时，此时抛物线解析式为y=
③当x1=-3，当x2=2时，此时抛物线解析式为y=
④当x1=-3，当x2=-8时，此时抛物线解析式为y=
答：存在满足要求的抛物线，这个抛物线解析式y=或y=或y=或y=