Question

如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B （0，10），C（-10，0），D（0，-10），则该正方形内及边界上共有    个整点（即纵横坐标都是整数的点）．

Answer

根据A（10，0），B （0，10），C（-10，0），D（0，-10）可知正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x-y=-10、x+y=-10、x-y=10；然后分别找出直线y=10、9、8、7…与正方形的边和内部有交点的个数是1、3、5、7…19；对称的正方形在x轴的下发还有同样多，另外最后直线y=0（对角线x轴）上有（-10，0）、（-9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个；所以符合条件的整点数有：2（1+3+5+…+19）+21（个）．
【解析】
正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x-y=-10、x+y=-10、x-y=10．
直线y=10与正方形交于B（0，10）（共1个）；
直线y=9与正方形的边交于（-1，9）、（1，9），界于其间的还有（0，9），（共3个）；
依次是y=8与正方形的边和内部有交点（-2，8）、（-1，8）、（0，8）、（-1，8）、（2，3），（共5个）；
…
直线y=1与正方形的边和内部有交点（-9，1）、…、（9，1），（共19个 ）；
对称的正方形在x轴的下方还有同样多，
最后直线y=0（对角线x轴）上有（-10，0）、（-9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个
所以正方形及其内部共有：2（1+3+5+…+19）+21=2×+21=221（个）整点．
故答案为：221．