Question

设a，b都是正整数，若二次函数y=a²+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x₁，x₂，满足-1＜x₁＜x₂＜0，
求：正整数a，b的最小值及此时x₁，x₂的值．

Answer

先根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1x2=，再利用-1＜x1＜x2＜0得到（1+x1）（1+x2）＞0，进而得到（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1-=＞0，可推出a、b的取值范围值，进而求出a、b的值．
【解析】
解法1：依题意，x1，x2为方程ax2+bx+1=0的两实根，
则b2-4a＞0①
x1+x2=，x1x2=②，
∵-1＜x1＜x2＜0，
∴1+x1＞0，1+x2＞0，
即（1+x1）（1+x2）＞0，
∴（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1-=＞0，
而a＞0，
∴a-b+1＞0，即：a＞b+1，又a，b都是正整数，则a≥b③，
由①得，b＞2④，
由③、④得a＞2，即＞2，
∴a＞4，因此正整数a的最小值为5．
由④得：b＞2＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax2+bx+1=0的根为x=，
∴，
解法2：依题意：y=ax2+bx+1=a（x-x1）（x-x2），
令x=-1得：a（-1-x1）（-1-x2）=a-b+1，
即a（1+x1）（1+x2）=a-b+1，
∵-1＜x1＜x2＜0，
∴1+x1＞0，1+x2＞0，
即（1+x1）（1+x2）＞0，
∴a（1+x1）（1+x2）=a-b+1＞0，
而a，b为正整数，则a（1+x1）（1+x2）=a-b+1≥1，
而x1x2=，
∴a2（1+x1）（1+x2）x1x2=a-b+1≥1，
∴a2≥，
由于0＜（1+x1）（-x1）=-+，当时取最大值；
同理0＜（1+x2）（-x2）=-+，当x2=时取最大值；
而-1＜x1＜x2＜0，
∴0＜（1+x1）（1+x2）x1x2=（1+x1）（-x1）（1+x2）（-x2）＜，
从而a2≥＞16，
而a为正整数，所以a的最小值为5，
由于x1，x2为方程ax2+bx+1=0的两实根，则b2-4a＞0，
∴b＞2＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax2+bx+1=0的根为x=，
∴x1=，x2=．