Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=12，设过A，B，C三点的⊙O₁与边CD相交于点E，且，直线CB与过A，D，C三点⊙O₂的相切．
（1）求边CD的长度；
（2）设⊙O₁，⊙O₂的半径分别为r₁，r₂，求的取值范围．

Answer

（1）由△ACB∽△CDA，∠ABC=∠CAD，进而得出DA⊥AO1，再由切线的性质可求解线段的长度；
（2）由（1）中可得∠ABC=∠CAD，所以∠DO2C=∠AO1C，得出△DO2C∽△AO1C，得出对应边成比例，进而可求其比值的大小．
【解析】
（1）连接CO1，AO1
由于CB与过A，D，C三点的⊙O2相切，则∠ACB=∠ADC，又AB∥CD，则∠DCA=∠BAC
∴△ACB∽△CDA
∴∠ABC=∠CAD
而∠ABC=∠AO1C，则∠CAD=∠AO1C，
∴∠DAO1=∠CAD+∠CAO1=AO1C+∠CAO1，
∵CO1=AO1∴∠ACO1=∠CAO1
∴∠DAO1=AO1C+∠CAO1+∠ACO1=90°
∴AD与⊙O1相切，
∴AD2=ED•DC，
而=，
∴ED=CD，则122=DC2，
∴DC=18；

（2）在⊙O2中，∠DO2C=2∠DAC，在⊙O1中，∠AO1C=2∠ABC
由（1）得∠ABC=∠CAD，
∴∠DO2C=∠AO1C，
∴等腰三角形△DO2C∽等腰三角形△AO1C，则==，
由于CD-AD＜AC＜CD+AD，
∴6＜AC＜30，则＜＜．