Question

设k为实数，关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，若x₁+2x₂²=k，则k=    ．

Answer

k为实数，关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两个实根分别为x1，x2，根据根与系数的关系列出关于k的等式即可得出答案．
【解析】
∵x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两个实根分别为x1、x2，
∴x22+kx2+k+1=0，
∴x22=-（kx2+k+1）①
根据韦达定理：
x1+x2=-k               ②
x1x2=k+1               ③
∵x22=x22+x1x2-x1x2，
=（x1+x2）x2-x1x2
=-kx2-k-1，
∴x1+2x22=k，
x1+2（-kx2-k-1）=k，
x1+x2-x2-2kx2-2k-2=k，
-k-x2-2kx2-2k-2=k，
x2+2kx2+4k+2=0，
即 （2k+1）（2+x2）=0
∴k=-0.5或x2=-2
∵k=-0.5时，
△=（-0.5）2-4×1×（-0.5+1）
=0.25-2
=-1.75＜0，
∴x2=-2，
把x2=-2代入原方程x2+kx+k+1=0，得
4-2k+k+1=0，
解得k=5，
检验：△=52-4×1×（5+1）=1＞0，
∴k=5．