Question

如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S_△ABC=7，S_△OBC=2，则=    ．

Answer

根据等边三角形的性质证明△BAN≌△CBM（SAS），然后有全等三角形的性质知S△BAN=S△CBM，最后利用“割补法”求得△AOM和△BOM面积间的数量关系列出方程，解方程即可．
【解析】
连接AO，设S△AOM=m，BM：MA=a：1（a＞0）．
∵AN=BM，AB=AC，
∴AN：CN=a；
在△BAN和△CBM中：
∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC，∠BAN=∠CBM=60°，
又∵BM=AN，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴S△BAN=S△CBM，
∴S△BAN-S△BOM=S△CBM-S△BOM，
∴S四边形AMON=S△BOC；
又∵S△OBC=2，
∴S四边形AMON=2；
∴S△AON=S四边形AMON-S△AOM=2-m…①
而S△ABC=7，
∴S△BOM+S△CON=S△ABC-S△BOC-S四边形AMON=3；
∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离），
∴S△BOM：S△AOM=BM：AM=a，
∴S△BOM=am…②
∴S△CON=3-S△BOM=3-am，
同理，S△AON：S△CON=AN：CN=a，
∴（2-m）：（3-am）=a，即2-m=3a-a2m…③
同理，S△ACM：S△BCM=AM：BM=1：a，
∴[m+（2-m）+（3-am）]：（am+2）=1：a，即（5-am）：（am+2）=1：a，
∴am+2=5a-a2m…④
④-③得，（a+1）m=2a
∴m=；
将m值代入③式，得
2-=3a-a2•，即（a+1）（2a-1）（a-2）=0，
∴a=1，或者a=2；
当a=时，；
当a=2时，；
故答案为：或．