Question

如图，在△ABC中，AB=10，BC=21，sinB=，点D是BA延长线上一点，⊙O与△DBC的三边BD、BC、CD分别相切于点E、F、G，且点E在线段AD上．
（1）求△ABC的内切圆⊙O_l半径r；
（2）设⊙O的半径为x，CF的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）△DBC的面积值能否是周长值的两倍？如果能够，请求出BE的长；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）可作AH⊥BC于H，由三角形的面积入手，即可求解半径的长；
（2）要找y与x之间的函数解析式，可由△O1BI∽△OBF得出对应边成比例，而对于x的取值范围，则应保证其小于圆的半径；
（3）可先假设题中结论成立，通过面积的关系代入计算，得出x的值不满足题意，即得出结论不成立．
【解析】
（1）作AH⊥BC于H，则AH=8，BH=6，CH=15，AC=17，
由S△ABC=，
即，
解得．

（2）连接OB、OF、O1I，（I为⊙Ol与BC的切点），
，BF=21-y，
由△O1BI∽△OBF得，，
∴y与x之间的函数解析式为y=-2x+21．
当BD∥CD时，两平行线之间距离为BC×sinB=，此时⊙O的半径为，BF=21-y=2x=BE≥BA，x≥5，
∴函数自变量x的取值范围为．

（3）假设能够，则S△DBC=，S△DBC=，x=4．
这不符合题意，
所以△DBC的面积值不可能是周长值的两倍．