Question

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

Answer

作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．
证明：作DE⊥AC于E，
则AC=AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中点，
∴AG=ED．
∴ED2=AF•AE，
∴5ED2=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴=，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．