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如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,直线OB交⊙O于点E...

如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,直线OB交⊙O于点E,D,连接EC,CD.
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)求证:BC2=BD•BE;
(3)若tanE=manfen5.com 满分网,⊙O的半径为3,求OA的长.

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(1)根据题目给的OA=OB,CA=CB的条件,很容易证明直线AB与⊙O的位置关系是相切. (2)连接AC,根据题目所给的条件去证明△BCD∽△BEC,问题可解. (3)设BC的长是x,因为△BCD∽△BEC,根据相似三角形的对应边成比例,可求出OB=OA=2x-3,根据勾股定理可求解. 【解析】 (1)AB与⊙O相切,连接OC, ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB, ∵点C在⊙O上, ∴AB与⊙O相切 (2)连接OC,∵OC⊥AB, ∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°, 又∵DE为⊙O的直径, ∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠2, ∵OE=OC, ∴∠E=∠2, ∴∠1=∠E, ∵∠B=∠B, ∴△BCD∽△BEC, ∴, ∴BC2=BD•BE; (3)∵,∠ECD=90°, ∴, ∵⊙O的半径为3, ∴OC=OE=3, ∵△BCD∽△BEC, ∴,设BC=x, ∴, ∴OB=2x-3, ∵∠OCB=90°, ∴OC2+BC2=OB2, ∴9+x2=(2x-3)2, ∴x1=0(舍去),x2=4, ∴OA=OB=5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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