Question

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，-2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC²=OA•OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer

（1）已知顶点坐标为（1，-2），可设顶点式为y=a（x-1）2-2=ax2-2ax+a-2，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=，C（0，a-2），由OC2=OA•OB，将相应点的坐标代入，列方程求a，即可求二次函数解析式；
（2）根据二次函数解析式及AB=|x1-x2|，利用求根公式求AB，点C到线段AB的距离为高，可求△ABC的面积．
【解析】
（1）∵抛物线顶点坐标为（1，-2），
设顶点式为y=a（x-1）2-2=ax2-2ax+a-2，A（x1，0），B（x2，0），
则x1x2=，C（0，a-2），
由OC2=OA•OB，得（a-2）2=|x1x2|=||，即a3-4a2+4a=|a-2|，
当0＜a＜2时，有a3-4a2+5a-2=0
即（a-1）2（a-2）=0，
解得a1=1或a2=2（舍去）
由a=1得y=x2-2x-1；
当a＞2时，有a3-4a2+3a+2=0
即（a-2）（a2-2a-1）=0
解得a1=2（舍去），a2=1+，a3=1-（舍去），
故a=1+，y=（1+）x2-（2+2）x+-1，
故 所求二次函数解析式为：y=x2-2x-1或y=（1+）x2-（2+2）x+-1；
（2）由S△ABC=|AB|•|OC|，有两种情况：
①当y=x2-2x-1时，
|AB|=|x1-x2|==2，
又|OC|=1，故S△ABC=×2×1=；
②当y=（1+）x2-（2+2）x+-1时，
|AB|=|x1-x2|==2，
又|OC|=-1，则
S△ABC=×2×（-1）=（-1）．
故所求△ABC的面积为（-1）或．