Question

设p是实数，二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求证：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．

Answer

（1）由于二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点，由此得到其判别式是正数，同时把x2代入函数解析式然后变形即可解决问题；
（2）由于AB=|x1-x2|==，然后利用已知条件即可得到关于p的不等式，解不等式即可求解．
【解析】
（1）∵二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
∴△=4p2+4p＞0，x22-2px2-p=0，
∴2px1+x22+3p，
=2px1+2px2+p+3p，
=2p（x1+x2）+4p，
=4p2+4p＞0；

（2）AB=|x1-x2|，
=，
=＜|2p-3|，
解之得p≤，
又当p=时满足题意，
故p的最大值是．