Question

设ab≠0，且函数f₁（x）=x²+2ax+4b与f₂（x）=x²+4ax+2b有相同的最小值u；函数f₃（x）=-x²+2bx+4a与f₄（x）=-x²+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（ ）
A．必为正数
B．必为负数
C．必为0
D．符号不能确定

Answer

本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f1（x）与f2（x）有相同的最小值u；f3（x）与f4（x）有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．
【解析】
∵f1（x）=x2+2ax+4b=（x+a）2+4b-a2≥4b-a2，
f2（x）=x2+4ax+2b=（x+2a）2+2b-4a2≥2b-4a2，
已知4b-a2=u=2b-4a2，得-2b=3a2①
∵ab≠0，
∴b＜0，
又∵f3（x）=-（x-b）2+4a+b2≤4a+b2，
f4（x）=-（x-2b）2+2a+4b2≤2a+4b2；
已知4a+b2=v=2a+4b2，得2a=3b2，②
∵ab≠0，
∴a＞0，
∴3a-3b+2＞0，
∴②-①得，2（a+b）=3（b2-a2），
解得a+b=0或（舍去），
当a+b=0时，2（u+v）=（6b-5a2）+（6a+5b2）=（a+b）[6+5（b-a）]=0，
∴u+v=0，
故选C．