Question

如图，在△ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN．
（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；
（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则△ABC还应满足什么条件？请说明理由；
（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与△APQ的面积相等？

Answer

（1）根据PQ∥MN可得出∠EPQ=∠ENM，∠EQP=∠EMN，进而可得出△PEQ∽△NEM，再根据相似三角形的性质可得出F、D关于点E对称，由对称的性质可得到EF=ED，PQ=MN，进而可判断出四边形PMNQ是平行四边形；
（2）先根据PQ∥BC得出∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，再由AB=AC及AF平分PQ可得出EP=EQ，再根据四边形PMNQ是平行四边形即可得出结论；
（3）ED=x，四边形PMNQ的面积与△APQ的面积相等即可得出关于x的方程，求出x的值即可．
【解析】
（1）四边形PMNQ是平行四边形．
∵PQ∥MN，
∴∠EPQ=∠ENM；∠EQP=∠EMN，
∴△PEQ∽△NEM，
∵ED⊥MN，EF⊥PQ，
∴=，
∵F、D关于点E对称，
∴EF=ED，
∴PQ=MN，
∵PQ∥MN，
∴四边形PMNQ是平行四边形；

（2）满足条件：AB=AC，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ，
∵AF⊥PQ，
∴AF平分PQ，
∴EP=EQ，
∵四边形PMNQ是平行四边形，
∴PE=EN，ME=EQ，
∴PE=EQ=EM=EN，
∴MQ=PN，
∴当AB=AC时，PMNQ是矩形；

（3）设ED=x，
∵SPMNQ=S△APQ，
∴PQ×2x=PQ×（6-2x），
∴x=1，
∴当ED=1时，四边形PMNQ与△APQ面积相等．