Question

已知关于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求实数m的值．

Answer

（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=4x2=-2（2-m）=2m-4，以及x1•x2=3x22=3-6m即可求得m的值．
【解析】
（1）证明：∵关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0中，△=4（2-m）2-4（3-6m）=4（m+1）2≥0，
∴无论m取什么实数，方程总有实数根．

（2）如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=3x2，则x1+x2=4x2=-2（2-m）=2m-4
∴x2=-1  ①
∵x1•x2=3x22=3-6m，
∴x22=1-2m②，
把①代入②得m（m+4）=0，
即m=0，或m=-4．
答：实数m的值是0或-4