Question

a、b为实数，关于x的方程|x²+ax+b|=2有三个不等的实数根．
（1）求证：a²-4b-8=0；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

Answer

（1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式进行证明；
（2）根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出a的值，然后确定三角形的内角；
（3）根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出a，b的值．
证明：（1）由原方程得：x2+ax+b-2=0①，x2+ax+b+2=0②，
两方程的判别式分别为：△1=a2-4b+8，△2=a2-4b-8，
∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即△1，△2中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2，
∴△1＞0，△2=0，
即a2-4b-8=0；

（2）设方程①的两根为x1，x2，方程②的根为x3，则x1+x2+x3=180°，
∵x1+x2=-a，x3=-，
∴x1+x2+x3=-a=180°，
∴a=-120°，
∴x3=-=60°．
故该三角形中有一个内角为60°；

【解析】
（3）方程①中的两根x1，x2必有一个大于方程②中的x3，而另一个小于x3，
∴可以设x1＞x3＞x2，则由已知得：x12-x22=x32，即（x1+x2）（x1-x2）=x32．
∴-a•=
整理得：a2+4a=0
由（1）有：a2-4b=8代入上式得：a2+16a=0，
∴a1=0，a2=-16．
当a=0时，x3=0，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾，
∴a=-16．
把a=-16代入a2-4b-8=0中，得b=62．
故a=-16，b=62．