Question

考虑方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．
（2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．

Answer

（1）把方程变形为（x2-10x+a-）（x2-10x+a+）=0．当a=24，得到x2-10x+24-=0或x2-10x+24+=0；要恰有3个不同的实数x满足①式，则两个方程中一个判别式等于0，另外一个判别式大于0即可．
（2）由（1）得x2-10x+a-=0或x2-10x+a+=0，△1=4（25-a+），△2=4（25-a-），当a≥25，则△2≤0，若△2＜0，最多有两个不同的x满足①；若△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，只有一个x满足①．
【解析】
（1）把方程变形为（x2-10x+a-）（x2-10x+a+）=0．当a=24，得到x2-10x+24-=0或x2-10x+24+=0；△1=25（1+）；△2=25（1-），要保证恰有3个不同的实数x满足①式，则△1＞0，△2＜0，所以有b=1．
（2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下：
由（1）得x2-10x+a-=0或x2-10x+a+=0，则△1=4（25-a+），△2=4（25-a-），
若a≥25，则有△2≤0，当△2＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．