Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是    ，    ．

Answer

连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙O的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BCO及∠BAO的度数，由直角三角形的性质可求出∠ABO的度数，再根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定定理即可求出⊙C的半径；由△AOB是直角三角形可求出OB的长，过O作OD⊥OB于D，由垂径定理可求出OD的长，进而得出D点的坐标，再根据直角三角形的性质可求出CD的长，从而求出C点坐标．
【解析】
连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，
∵AC=OC，∠BAO=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径=OA=4；
过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，
∵∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OD===2，CD=BC=×4=2，
∴D点坐标为（-2，0），
∴C点坐标为（-2，2）．
故答案为：4，C（-2，2）．