Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为    ．

Answer

根据题意由y=ax2+bx+c①，y=k（x-1）-②，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax2+（b-k）x+c+k+=0，则△=（b-k）2-4a（c+k+）=0，整理得到（1-a）k2-2（2a+b）k+b2-4ac=0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b2-4ac=0，求出a，b，c即可．
【解析】
根据题意得，
y=ax2+bx+c①，
y=k（x-1）-②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b-k）x+c+k+=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两相等的值，
即△=（b-k）2-4a（c+k+）=0，
∴（1-a）k2-2（2a+b）k+b2-4ac=0，
由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b2-4ac=0，
∴a=1，b=-2，c=1，
所以二次函数的解析式为y=x2-2x+1．
故答案为：y=x2-2x+1．