Question

二次函数y=x²+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．

Answer

A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为p、q的表达式，根据顶点坐标公式得M（），故有S△AMB=|AB|•||，又依题意得4+2p+q=-1，即q=-2p-5，转化为关于p的二次函数求面积最小时，p、q的值．
【解析】
由题意知4+2p+q=-1，即q=-2p-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+px+q上，
∴a+b=-p，ab=q，
又|AB|=|a-b|=，M（），
∴S△AMB=|AB|•||
=|a-b|•（P2-4q）=
要使S△AMB最小，只须使P2-4q为最小，
而P2-4q=P2+8p+20=（p+4）2+4，
∴当p=-4时，P2-4q有最小值为4，
此时q=3，S△AMB=×=1．
∴二次函数解析式为y=x2-4x+3．