Question

已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y₁²+y₂²．

Answer

（1）要分两种情况讨论：
①k=0时，（1）方程为一元一次方程，可计算出此时方程的根是否为整数，若是，则k=0符合要求；
②k≠0时，（1）方程为一元二次方程，用因式分解法求出该方程的两个根，再根据这个方程只有整数根的特点，求出k的整数值，再根据的判别式将不合题意的k值舍去．
（2）将（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根据根的判别式判断出m的范围，然后用根与系数的关系表示出所求的代数式的值．
【解析】
（1）当k=0时，方程（1）化为-x-1=0，x=-1，方程有整数根（1分）
当k≠0时，方程（1）可化为（x+1）（kx+k-1）=0
解得x1=-1，x2==-1+；
∵方程（1）的根是整数，所以k为整数的倒数．
∵k是整数
∴k=±1
此时△=（2k-1）2-4k（k-1）=1＞0（3分）
但当k=1时，（k-1）y2-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；（14分）

（2）当k=0时，方程（2）化为-y2-3y+m=0
∵方程（2）有两个实数根
∴△=9+4m≥0，即m≥-，又m＞-2
∴当m＞-2时，y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=9+2m；（6分）
当k=-1时，方程（2）化为-2y2-3y+m=0，方程有两个实数根
∴△=9+8m≥0，即m≥-
∵m＞-2，
∴当-2＜m＜-时，方程（2）无实数根
当m≥-时，有y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=+m．（7分）