Question

已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO为等腰三角形的点的坐标．

Answer

根据已知直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1，解出交点坐标，根据交点在第四象限即可解出k的范围，再根据k为非负整数确定k的值后即可得出答案．
【解析】
（1）由题可得：，
解得：，
∴两直线的交点坐标为（k+4，k-1），又∵交点在第四象限，
∴，
解得：-4＜k＜1；

（2）由于k为非负整数且-4＜k＜1，
∴k=0，
此函数的解析式为：x-2y=6．
直线x-2y=6与y轴的交点坐标为：（0，-3），与x轴交点坐标为（6，0），
∵A（2，0），
∴AO=2，
∵2＜3，
若OP=AP，则点P的横坐标为1，代入x-2y=6，可得y=，
∴可得P1点坐标为（1，-）；
设P（2y+6，y），
若OA=OP，则（2y+6）2+y2=4，此时无解；
若OA=AP，则（2y+6-2）2+y2=4，
解得：y=-2或y=-，
∴P2（2，-2）或P3（，-）．