Question

如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（ ）

A．点O是△DEF的外心
B．∠AFE=（∠B+∠C）
C．∠BOC=90°+∠A
D．∠DFE=90°一∠B

Answer

首先连接如图所示的辅助线．采用排除法，证明A、B、C选项，从而错误的选择D．在证明中运用弦切角定理，直角三角形的两直角边所对的角互余．
【解析】
A、∵点O是△ABC的内心
∴OE=OD=OF
∴点O也是△DEF的外心
∴该选项正确；
B、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理）
在Rt△BOD中，∠BOD=90°-∠OBD=
同理∠COD=
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=，即∠BOC=
在四边形MOND中，⇒∠BOC+∠MDN=180°⇒∠MDN=180°-∠BOC，即∠BOC=180°-∠EDF
∴∠AFE=（∠B+∠C）
故该选项正确；
C、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理），
∵在Rt△AFO中，∠AFE=90°-∠FAO=90°-，
由上面B选项知∠MDN=180°-∠BOC=180°-（90°-）=90°+，
故该选项正确；
故选D．