Question

如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（ ）

A．
B．
C．
D．不能确定

Answer

设⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，容易得到四边形AEOH，四边形OMCF均为矩形，四边形BMOH为正方形，设⊙O的半径为r，那么AE=CF=ON=r，即可利用已知条件证明△AEG≌△ONG和△ONI≌△CFI，由此得到S△ONG=S△AEG，S△ONI=S△CFI，然后即可得出S□OEDF=S▭ABCD．
【解析】
如图，设⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，
那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，
∴四边形AEOH，四边形OMCF均为矩形，四边形BMOH为正方形．
设⊙O的半径为r，那么AE=CF=ON=r，
在△AEG和△OGN中，∠AEG=∠ONG=90°，∠AGE=∠OGN，AE=ON=r，
∴△AEG≌△ONG，
同理△ONI≌△CFI，
∴S△ONG=S△AEG，S△ONI=S△CFI，
S□OEDF=S多边形EGIFD+S△OGI=S多边形EGIFD+S△ONG+S△ONI，
而S多边形EGIFD+S△AEG+S△IFC=S△ADC=S▭ABCD．
∴S□OEDF=S▭ABCD．
故选A．