Question

已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）．
求证：F为△CDE的内心．

Answer

本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．
证明：证法1：如图，连DF，则由已知，
∵∠CDF=∠CAB=45°=∠CDE，
∴DF为∠CDE的平分线，
连BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，
得FB=FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，
从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．
∵F是△CDE上两条角平分线的交点，
∴就是△CDE的内心．

证法2：同证法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后，
由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．
连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，
立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分线．
本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，
因而证法2并不比证法1复杂．
由这个证明可知，F是△DCB的外心．
∠CDF=∠CAB=45°=∠CDE，
知DF是∠CDE的平分线，
故F是△CDE的内心．

证法3：如图，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2，
∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1
得∠1=∠2．
从而∠DCF=∠GCF，
得CF为∠DCE的平分线．

证法4：首先DF是∠CDE的平分线，故
△CDE的外心I在直线DF上．
现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d，则直线AB是一次函数
y=-x+d①
的图象（如图）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则
x1+y1=CH+IH
=CH+HB=CB=d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．
还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．